Caminho Percorrido pela Luz

Pretende-se agora traçar o caminho percorrido pela luz na sua ida de um ponto p₁ (no ambiente 1) a um ponto p₂ (no ambiente 2), havendo entre eles uma interface planar. Sem perda de generalidade e de forma a facilitar os cálculos, pode-se calcular a solução para $\mathbb {R}$², sendo trivialmente generalizável para $\mathbb {R}$³ por meio de uma simples mudança de coordenadas antes, e a respectiva inversa após os cálculos que se seguem. Da mesma forma, assume-se que o interface se encontra no plano y = 0 (uma vez mais faz-se notar que estamos em $\mathbb {R}$²) e o ponto p₁ tem abcissa nula. Ver figura C.1.

Figura: Representação de um raio de luz cujo caminho é alterado pela existência de um interface. para simplificar assume-se que a interface está no plano y = 0 e p₁ tem abcissa nula.

Assim,

$$\phi_{1}^{} \left(\vphantom{\frac{b}{a}}\right. {\frac{{b}}{{a}}} \left.\vphantom{\frac{b}{a}}\right)$$

$$\phi_{2}^{} \left(\vphantom{\frac{c-b}{d}}\right. {\frac{{c-b}}{{d}}} \left.\vphantom{\frac{c-b}{d}}\right)$$

Aplicando as expressões 4.1.1 e 4.1.2 obtém-se

k₁$${\frac{{\frac{b}{a}}}{{\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^2}}}}$$ = k₂$${\frac{{\frac{c-b}{d}}}{{\sqrt{1+\left(\frac{c-b}{d}\right)^2}}}}$$

que pode ser reescrito como um polinómio de quarto grau, sendo a solução que se procura uma das raízes deste:

(k₁² - k₂²)b⁴ -2c(k₁² - k₂²)b³ + $$\left(\vphantom{k_1^2 d^2-k_2^2 a^2 +(k_1^2-k_2^2)c^2}\right.$$k₁²d² - k₂²a² + (k₁² - k₂²)c²$$\left.\vphantom{k_1^2 d^2-k_2^2 a^2 +(k_1^2-k_2^2)c^2}\right)$$b² +2k₂²ca²b - k₂²c²a² = 0

Apesar de não servir de prova, testes numéricos indicam que existe apenas uma raiz real compreendida no intervalo [0, c]. Embora exista uma solução em forma fechada para as raízes de polinómios de quarta ordem, é bastante mais simples calculá-las usando métodos iterativos. Uma implementação usando o método de Newton (adaptado a polinómios como descrito em [17], também conhecido por método de Bierge-Vieta) foi testada, gerando cerca de 10 dígitos significativos em 4 ou 5 iterações. A estimativa inicial é fornecida pela aproximação de Taylor de primeira ordem mencionada na secção 4.1.2^C.1:

p₁ + t₁v₁ + t₂$$\underbrace{{\left [\begin{array}{ccccccc}kv_1^x \\ v_1^y\end{array}\right ]}}_{{\mathbf{v_2}}}^{}\,$$ = p₂

incluindo a restrição

p₁^y + t₁v₁^y = 0

conclui-se que uma possível solução ( v₁ está definido a menos de um factor de escala) é

v₁ = $$\left[\vphantom{\begin{array}{ccccccc}p_1^x-p_2^x\\ p_1^y-kp_2^y\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccccccc}p_1^x-p_2^x\\ p_1^y-kp_2^y\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc}p_1^x-p_2^x\\ p_1^y-kp_2^y\end{array}}\right]$$

e assim a estimativa inicial vem dada por

b₀ = p₁^x - p₁^y$${\frac{{p_1^x-p_2^x}}{{p_1^y-Kp_2^y}}}$$ = $${\frac{{ac}}{{a-kd}}}$$