Aproximação de Taylor de Primeira Ordem

Dada a complexidade da expressão 4.1.5, aproxima-se o resultado exacto pela sua expansão em série de Taylor, da qual se aproveita apenas os termos de primeira ordem^4.3:

f (p) $$\approx$$ f (a) + $$\nabla$$f (a)^T(p - a),    $$\forall$$f : $$\mathbb {R}$$^N $$\rightarrow$$ $$\mathbb {R}$$

Como se posicionarão as câmaras a olhar segundo uma direcção próxima da vertical no sentido negativo do eixo, calcula-se a expansão em série da função v₂^z(v), em torno do vector v_a = $\left[\vphantom{\begin{array}{ccccccc}0&0&-1\end{array}}\right.$$\begin{array}{ccccccc}0&0&-1\end{array}$$\left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc}0&0&-1\end{array}}\right]^{T}_{}$. O gradiente é então

$$\left.\vphantom{\nabla v^z_2(\mathbf{v})}\right.$$$$\nabla$$v^z₂(v)$$\left.\vphantom{\nabla v^z_2(\mathbf{v})}\right\vert _{{\mathbf{v=v_a}}}^{}$$ = $$\left.\vphantom{\left [\begin{array}{ccccccc} \frac{(k^2-1)v^x}{\... ...^2 + \left(v^y\right)^2\right)+\left(v^z\right)^2}} \end{array}\right ]}\right.$$$$\left[\vphantom{\begin{array}{ccccccc} \frac{(k^2-1)v^x}{\sqrt{(1... ...x\right)^2 + \left(v^y\right)^2\right)+\left(v^z\right)^2}} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccccccc} \frac{(k^2-1)v^x}{\sqrt{(1-k^2)\left(\left... ...\left(v^x\right)^2 + \left(v^y\right)^2\right)+\left(v^z\right)^2}} \end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc} \frac{(k^2-1)v^x}{\sqrt{(1... ...x\right)^2 + \left(v^y\right)^2\right)+\left(v^z\right)^2}} \end{array}}\right]$$$$\left.\vphantom{\left [\begin{array}{ccccccc} \frac{(k^2-1)v^x}{\... ...ht)+\left(v^z\right)^2}} \end{array}\right ]}\right\vert _{{\mathbf{v=v_a}}}^{}$$ = $$\left[\vphantom{\begin{array}{ccccccc}0\\ 0\\ 1\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccccccc}0\\ 0\\ 1\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc}0\\ 0\\ 1\end{array}}\right]$$

e aplicando a lei de Snell ao vector v_a obtém-se v^z₂(v_a) = - 1, concluindo-se que a aproximação de Taylor de primeira ordem é:

v^z₂(v) $$\approx$$ -1 + $$\left[\vphantom{\begin{array}{ccccccc}0 & 0 & 1\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccccccc}0 & 0 & 1\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc}0 & 0 & 1\end{array}}\right]$$$$\left(\vphantom{\left [\begin{array}{ccccccc}v^x\\ v^y\\ v^z\en... ...y}\right ]-\left [\begin{array}{ccccccc}0\\ 0\\ -1\end{array}\right ]}\right.$$$$\left[\vphantom{\begin{array}{ccccccc}v^x\\ v^y\\ v^z\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccccccc}v^x\\ v^y\\ v^z\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc}v^x\\ v^y\\ v^z\end{array}}\right]$$ - $$\left[\vphantom{\begin{array}{ccccccc}0\\ 0\\ -1\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccccccc}0\\ 0\\ -1\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc}0\\ 0\\ -1\end{array}}\right]$$$$\left.\vphantom{\left [\begin{array}{ccccccc}v^x\\ v^y\\ v^z\en... ...y}\right ]-\left [\begin{array}{ccccccc}0\\ 0\\ -1\end{array}\right ]}\right)$$ = v^z

ou seja

v₂ $$\approx$$ $$\left[\vphantom{\begin{array}{ccccccc}kv^x_1\\ kv^y_1\\ v^z_1\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccccccc}kv^x_1\\ kv^y_1\\ v^z_1\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc}kv^x_1\\ kv^y_1\\ v^z_1\end{array}}\right]$$ = $$\underbrace{{\begin{bmatrix}k &0 &0\\ 0& k & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}}_{{\mathbf{K}}}^{}\,$$v₁

Figura: Comparação entre o ângulo de refracção aproximado por uma série de Taylor de primeira ordem e o ângulo obtido pela lei de Snell quando aplicado a uma interface ar/água (k = 1/1.33).

O erro cometido pela aproximação apresenta-se na figura 4.1.2. Não é difícil de concluir que esta aproximação pode ser implementada através de uma mudança dos parâmetros da câmara, como se descreve na secção seguinte. Só a título informativo e dando alguma credibilidade à aproximação usada, em óptica chama-se à aproximação de primeira ordem à lei de Snell

k₁$$\varphi_{1}^{}$$ = k₂$$\varphi_{2}^{}$$

de aproximação paraxial e é frequentemente usada (ver por exemplo [6] e [7]).