Lei de Snell em Coordenadas Cartesianas

Partindo da transformação em coordenadas esféricas:
r = $\displaystyle \sqrt{{x^2+y^2+z^2}}$  
$\displaystyle \theta$ = arctan$\displaystyle \left(\vphantom{x,y}\right.$x, y$\displaystyle \left.\vphantom{x,y}\right)$  
$\displaystyle \phi$ = arccos$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{z}{r}}\right.$$\displaystyle {\frac{{z}}{{r}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{z}{r}}\right)$  

e a respectiva transformação inversa
x = r cos$\displaystyle \theta$sin$\displaystyle \phi$  
y = r sin$\displaystyle \theta$sin$\displaystyle \phi$  
z = r cos$\displaystyle \phi$  

para r $ \in$ $ \mathbb {R}$0+, $ \theta$ $ \in$ [0,  2$ \pi$[ e $ \phi$ $ \in$ [0,  $ \pi$[. Pode-se então descrever um vector v = $ \left[\vphantom{\begin{array}{ccccccc}v^x &v^y &v^z\end{array}}\right.$$ \begin{array}{ccccccc}v^x &v^y &v^z\end{array}$$ \left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc}v^x &v^y &v^z\end{array}}\right]^{T}_{}$ em coordenadas esféricas vr, v$\scriptstyle \theta$ e v$\scriptstyle \phi$. Assumindo uma interface planar em z = 0, aplicar a lei de Snell

k1sin$\displaystyle \varphi_{1}^{}$ = k2sin$\displaystyle \varphi_{2}^{}$ (4.1.1)

onde ki são os índices de refracção do meio i e os ângulos $ \varphi_{1}^{}$ e $ \varphi_{2}^{}$ são medidos em relação à normal à interface como mostra a figura 4.1.1, permite calcular a coordenada v$\scriptstyle \phi$ do vector que define a trajectória do raio de luz após atravessar o interface. Se se designar por vi o vector no ambiente i4.1, tem-se então
Figura 4.1.1: Ilustração dos ângulos considerados na lei de snell.
\begin{figure}\center % \input{snell.pstex_t} \end{figure}

v$\scriptstyle \phi$2 = $\displaystyle \pi$ - arcsin$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{k_1}{k_2}\sin\left(\pi-v^\phi_1\right)}\right.$$\displaystyle {\frac{{k_1}}{{k_2}}}$sin$\displaystyle \left(\vphantom{\pi-v^\phi_1}\right.$$\displaystyle \pi$ - v$\scriptstyle \phi$1$\displaystyle \left.\vphantom{\pi-v^\phi_1}\right)$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{k_1}{k_2}\sin\left(\pi-v^\phi_1\right)}\right)$

permanecendo as restantes coordenadas esféricas inalteradas ( vr2 = vr1 e v$\scriptstyle \theta$2 = v$\scriptstyle \theta$1).

Interpretando geometricamente as funções trigonométricas permite apresentar as seguintes implicações assumindo que todos os ângulos estão reduzidos ao primeiro quadrante4.2

y = cos(arctan(x)) $\displaystyle \Longrightarrow$ y = $\displaystyle {\frac{{1}}{{\sqrt{1+x^2}}}}$    
y = sin(arctan(x)) $\displaystyle \Longrightarrow$ y = $\displaystyle {\frac{{x}}{{\sqrt{1+x^2}}}}$ (4.1.2)
y = sin(arccos(x)) $\displaystyle \Longrightarrow$ y = $\displaystyle \sqrt{{1-x^2}}$    
y = cos(arcsin(x)) $\displaystyle \Longrightarrow$ y = $\displaystyle \sqrt{{1-x^2}}$    

Aplicando a transformação inversa ao vector v2 (levando em consideração que sin($ \pi$ - $ \theta$) = sin($ \theta$)), tem-se (sublinha-se os termos aos quais uma das fórmulas descritas em 4.1.2 se aplica):

vx2 = vr2cos$\displaystyle \left(\vphantom{v^\theta_2}\right.$v$\scriptstyle \theta$2$\displaystyle \left.\vphantom{v^\theta_2}\right)$sin$\displaystyle \left(\vphantom{v^\phi_2}\right.$v$\scriptstyle \phi$2$\displaystyle \left.\vphantom{v^\phi_2}\right)$    
  = vr2$\displaystyle \underline{{\cos\left(\arctan\left(\frac{v^y_1}{v^x_1}\right)\right)}}$sin$\displaystyle \left(\vphantom{\pi-\arcsin\left(\frac{k_1}{k_2} \underline{\sin\left(\pi-\arccos\left(\frac{v^z_1}{v^r_1}\right)\right)} \right)}\right.$$\displaystyle \pi$ - arcsin$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{k_1}{k_2} \underline{\sin\left(\pi-\arccos\left(\frac{v^z_1}{v^r_1}\right)\right)} }\right.$$\displaystyle {\frac{{k_1}}{{k_2}}}$$\displaystyle \underline{{\sin\left(\pi-\arccos\left(\frac{v^z_1}{v^r_1}\right)\right)}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{k_1}{k_2} \underline{\sin\left(\pi-\arccos\left(\frac{v^z_1}{v^r_1}\right)\right)} }\right)$$\displaystyle \left.\vphantom{\pi-\arcsin\left(\frac{k_1}{k_2} \underline{\sin\left(\pi-\arccos\left(\frac{v^z_1}{v^r_1}\right)\right)} \right)}\right)$    
  = $\displaystyle {\frac{{k_1}}{{k_2}}}$$\displaystyle {\frac{{v^r_2}}{{v^r_1}}}$vx1$\displaystyle \sqrt{{\frac{\left(v^r_1\right)^2-\left(v^z_1\right)^2}{\left(v^x_1\right)^2+\left(v^y_1\right)^2}}}$    
  = $\displaystyle {\frac{{k_1}}{{k_2}}}$vx1 (4.1.3)

vy2 = vr2sin$\displaystyle \left(\vphantom{v^\theta_2}\right.$v$\scriptstyle \theta$2$\displaystyle \left.\vphantom{v^\theta_2}\right)$sin$\displaystyle \left(\vphantom{v^\phi_2}\right.$v$\scriptstyle \phi$2$\displaystyle \left.\vphantom{v^\phi_2}\right)$    
  = vr2$\displaystyle \underline{{\sin\left(\arctan\left(\frac{v^y_1}{v^x_1}\right)\right)}}$sin$\displaystyle \left(\vphantom{\pi-\arcsin\left(\frac{k_1}{k_2} \underline{\sin\left(\pi-\arccos\left(\frac{v^z_1}{v^r_1}\right)\right)} \right)}\right.$$\displaystyle \pi$ - arcsin$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{k_1}{k_2} \underline{\sin\left(\pi-\arccos\left(\frac{v^z_1}{v^r_1}\right)\right)} }\right.$$\displaystyle {\frac{{k_1}}{{k_2}}}$$\displaystyle \underline{{\sin\left(\pi-\arccos\left(\frac{v^z_1}{v^r_1}\right)\right)}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{k_1}{k_2} \underline{\sin\left(\pi-\arccos\left(\frac{v^z_1}{v^r_1}\right)\right)} }\right)$$\displaystyle \left.\vphantom{\pi-\arcsin\left(\frac{k_1}{k_2} \underline{\sin\left(\pi-\arccos\left(\frac{v^z_1}{v^r_1}\right)\right)} \right)}\right)$    
  = $\displaystyle {\frac{{k_1}}{{k_2}}}$$\displaystyle {\frac{{v^r_2}}{{v^r_1}}}$vy1$\displaystyle \sqrt{{\frac{\left(v^r_1\right)^2-\left(v^z_1\right)^2}{\left(v^x_1\right)^2+\left(v^y_1\right)^2}}}$    
  = $\displaystyle {\frac{{k_1}}{{k_2}}}$vy1 (4.1.4)

vz2 = vr2cos$\displaystyle \left(\vphantom{v^\phi_2}\right.$v$\scriptstyle \phi$2$\displaystyle \left.\vphantom{v^\phi_2}\right)$    
  = vr2cos$\displaystyle \left(\vphantom{\pi-\arcsin\left(\frac{k_1}{k_2} \underline{\sin\left(\pi-\arccos\left(\frac{v^z_1}{v^r_1}\right)\right)} \right)}\right.$$\displaystyle \pi$ - arcsin$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{k_1}{k_2} \underline{\sin\left(\pi-\arccos\left(\frac{v^z_1}{v^r_1}\right)\right)} }\right.$$\displaystyle {\frac{{k_1}}{{k_2}}}$$\displaystyle \underline{{\sin\left(\pi-\arccos\left(\frac{v^z_1}{v^r_1}\right)\right)}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{k_1}{k_2} \underline{\sin\left(\pi-\arccos\left(\frac{v^z_1}{v^r_1}\right)\right)} }\right)$$\displaystyle \left.\vphantom{\pi-\arcsin\left(\frac{k_1}{k_2} \underline{\sin\left(\pi-\arccos\left(\frac{v^z_1}{v^r_1}\right)\right)} \right)}\right)$    
  = - vr2$\displaystyle \underline{{\cos\left(\arcsin\left(\frac{k_1}{k_2}\frac{\sqrt{(v^x_1)^2+(v^y_1)^2}}{v^r_1}\right) \right)}}$    
  = - $\displaystyle \sqrt{{\left(1- \frac{(k_1)^2}{(k_2)^2}\right)\left(\left(v^x_1\right)^2+\left(v^y_1\right)^2\right) +\left(v^z_1\right)^2}}$    
  = - $\displaystyle \sqrt{{(v^r_1)^2-(v^x_2)^2-(v^y_2)^2}}$ (4.1.5)

Como se evidencia na última expressão, vz2 garante que a norma do vector refractado é igual à do vector incidente. O factor k1/k2 será doravante designado por k. Neste caso em particular, usando uma interface ar/água, ter-se-à k $ \approx$ 1/1.33.

Ricardo 2004-11-06