Fixando Duas Coordenadas

Supondo que se tem duas câmaras (centro de projecção em p₁ e q₁) e duas imagens das quais se conhece a correspondência de cada pixel com um ponto submerso.^4.6 Fixando um par $\left[\vphantom{\begin{array}{ccccccc}x & y\end{array}}\right.$$\begin{array}{ccccccc}x & y\end{array}$$\left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc}x & y\end{array}}\right]$ e fazendo variar z, pode-se definir a função p_i(z) = $\left[\vphantom{\begin{array}{ccccccc}x & y &z\end{array}}\right.$$\begin{array}{ccccccc}x & y &z\end{array}$$\left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc}x & y &z\end{array}}\right]^{T}_{}$ e os versores $\hat{{v}}_{1}^{}$(z) e $\hat{{w}}_{1}^{}$(z) (que unem o ponto p₁ ao ponto p_i(z) e o ponto q₁ ao ponto p_i(z), respectivamente como representado na figura 4.2.3):

Figura: Estimação do interface fixando duas coordenadas.

$$\hat{{v}}_{1}^{} {\frac{{\mathbf{p_i}(z) - \mathbf{p_1}}}{{\Vert \mathbf{p_i}(z) - \mathbf{p_1}\Vert}}}$$

$$\hat{{w}}_{1}^{} {\frac{{\mathbf{p_i}(z) - \mathbf{q_1}}}{{\Vert \mathbf{p_i}(z) - \mathbf{q_1}\Vert}}}$$

Como se supõe que se conhece a correspondência de cada pixel em cada imagem a um ponto submerso, p₂ e q₂ (pontos submersos correspondentes aos pares (p₁, $\hat{{v}}_{1}^{}$) e (q₁, $\hat{{w}}_{1}^{}$), respectivamente) são também funções de z. Assim são também funções de z os versores que unem p_i a p₂ e q₂:

$$\hat{{v}}_{2}^{} {\frac{{\mathbf{p_2}(z) - \mathbf{p_i}(z)}}{{\Vert \mathbf{p_i}(z) - \mathbf{p_2}(z)\Vert}}}$$

$$\hat{{w}}_{2}^{} {\frac{{\mathbf{q_2}(z) - \mathbf{q_i}(z)}}{{\Vert \mathbf{q_i}(z) - \mathbf{q_2}(z)\Vert}}}$$

usando a equação 4.2.3 obtêm-se duas orientações possíveis para o interface ( u_p e u_q), uma para cada imagem, ambas em função de z. O objectivo é encontrar z para o qual as duas orientações sejam iguais. Dado que apenas se dispõe de um conjunto discreto de z possíveis (dada a natureza discreta das imagens) pode-se usar técnicas de interpolação e de regressão de forma a minimizar o ruído. O problema pode ainda ser formulado como um problema de optimização:

z^* = arg$$\underset{z}{\textrm{min}}$$  $$\Theta$$$$\left(\vphantom{\mathbf{u_p}\left(z\right), \mathbf{u_q}\left(z\right)}\right.$$u_p$$\left(\vphantom{z}\right.$$z$$\left.\vphantom{z}\right)$$,u_q$$\left(\vphantom{z}\right.$$z$$\left.\vphantom{z}\right)$$$$\left.\vphantom{\mathbf{u_p}\left(z\right), \mathbf{u_q}\left(z\right)}\right)$$

onde $\Theta$( ^. , ^. ) devolve o ângulo entre os dois vectores que aceita como argumentos, ou seja

$$\Theta$$(a,b) = arccos$$\left(\vphantom{\frac{<\mathbf{a},\mathbf{b}>}{\Vert \mathbf{a} \Vert\cdot\Vert\mathbf{b}\Vert}}\right.$$$${\frac{{<\mathbf{a},\mathbf{b}>}}{{\Vert \mathbf{a} \Vert\cdot\Vert\mathbf{b}\Vert}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{<\mathbf{a},\mathbf{b}>}{\Vert \mathbf{a} \Vert\cdot\Vert\mathbf{b}\Vert}}\right)$$

Em particular, sabe-se que o mínimo global (do problema não discretizado) tem custo nulo. Repetindo o método anterior para uma grelha de pontos x e y, obtém-se uma amostragem da superfície do interface.

É ainda possível encontrar uma solução global construindo um volume de erros

e^{(x, y, z)} = $$\Theta$$$$\left(\vphantom{\mathbf{u_p^{(x,y)}}(z), \mathbf{u_q^{(x,y)}}(z)}\right.$$u_p^{(x, y)}(z),u_q^{(x, y)}(z)$$\left.\vphantom{\mathbf{u_p^{(x,y)}}(z), \mathbf{u_q^{(x,y)}}(z)}\right)$$

e aplicar um algoritmo de programação dinâmica a dois passos como descrito em [9], de forma a encontrar a superfície z = S(x, y) neste espaço tridimensional que minimize, por exemplo, $\sum_{{x,y}}^{}$$\left(\vphantom{e^{(x,y,S(x,y))}}\right.$e^{(x, y, S(x, y))}$\left.\vphantom{e^{(x,y,S(x,y))}}\right)^{2}_{}$