Estimação da Superfície da Interface

Pretende-se nesta secção estimar a superfcie da interface, onde se assume que a superfície é função de x e y. Como se observa na figura 4.2.1, mesmo que se tenha disponível a correspondência de pontos na câmara (fixando v₁) com pontos p₂ no cenário, não é possivel obter os parâmetros que definem a interface, existindo ainda um grau de liberdade. Só usando a informação existente na segunda câmara se torna possivel obter a localização e orientação da interface.

Figura: Representação gráfica de possíveis pontos de transição de meio. Como representado, em cada um destes pontos o plano tangente ao interface terá uma orientação diferente.

A lei de Snell pode ser escrita em formato vectorial como ilustra a figura 4.2.2 [8]

Figura: Lei de Snell a 3 dimensões. Note-se que a lei de snell para 2D é valida se se considerar apenas o plano sombreado.

k₁($$\hat{{v}}_{1}^{}$$ x $$\hat{{u}}$$) = k₂($$\hat{{v}}_{2}^{}$$ x $$\hat{{u}}$$)

onde $\hat{{v}}_{i}^{}$ designa a direcção do raio de luz no ambiente i, e $\hat{{u}}$ designa a normal à interface. Note-se que para a equação ser válida, os $\hat{{v}}_{i}^{}$ têm necessariamente que ter norma igual (em particular, força-se que a norma seja unitária), enquanto que a norma de $\hat{{u}}$ não é importante, perdendo o atributo de versor e passando a ser designado por u. Expandindo o produto externo:

$$\hat{{v}}_{i}^{} \begin{vmatrix} \mathbf{\hat{e}_x} & \mathbf{\hat{e}_y} & \mathbf{\hat{e}_z}\\ v_i^x & v_i^y & v_i^z\\ u^x & u^y & u^z \end{vmatrix}$$ =

$$\left(\vphantom{v_i^y u^z-v_i^z u^y}\right. \left.\vphantom{v_i^y u^z-v_i^z u^y}\right) \hat{{e}}_{x}^{} \left(\vphantom{v_i^z u^x-v_i^x u^z}\right. \left.\vphantom{v_i^z u^x-v_i^x u^z}\right) \hat{{e}}_{y}^{} \left(\vphantom{v_i^x u^y-v_i^y u^x}\right. \left.\vphantom{v_i^x u^y-v_i^y u^x}\right) \hat{{e}}_{z}^{}$$ =

onde $\hat{{e}}_{i}^{}$, i $\in$ {x, y, z}, designam os versores de base. Portanto, a lei de Snell impõe:

$$\left(\vphantom{v_1^y u^z-v_1^z u^y}\right. \left.\vphantom{v_1^y u^z-v_1^z u^y}\right) \left(\vphantom{v_2^y u^z-v_2^z u^y}\right. \left.\vphantom{v_2^y u^z-v_2^z u^y}\right)$$

$$\left(\vphantom{v_1^z u^x-v_1^x u^z}\right. \left.\vphantom{v_1^z u^x-v_1^x u^z}\right) \left(\vphantom{v_2^z u^x-v_2^x u^z}\right. \left.\vphantom{v_2^z u^x-v_2^x u^z}\right)$$ (4.2.1)

$$\left(\vphantom{v_1^x u^y-v_1^y u^x}\right. \left.\vphantom{v_1^x u^y-v_1^y u^x}\right) \left(\vphantom{v_2^x u^y-v_2^y u^x}\right. \left.\vphantom{v_2^x u^y-v_2^y u^x}\right)$$

Repare-se que as equações 4.1.3 a 4.1.5 poderiam ter sido obtidas daqui, fazendo u = $\left[\vphantom{\begin{array}{ccccccc}0 & 0 & 1\end{array}}\right.$$\begin{array}{ccccccc}0 & 0 & 1\end{array}$$\left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc}0 & 0 & 1\end{array}}\right]^{T}_{}$ e forçando $\Vert$v₂$\Vert$ = 1. Tomando

i^x = k₁v₁^x - k₂v₂^x (4.2.2)

i^y = k₁v₁^y - k₂v₂^y (4.2.3)

i^z = k₁v₁^z - k₂v₂^z (4.2.4)

pode-se reescrever 4.2.1 como

i^yu^z = i^zu^y

i^zu^x = i^xu^z

i^xu^y = i^yu^x

Como se afirma que a norma de u não é importante, o sistema anterior é sub-especificado, sendo a solução dada à parte de um factor de escala. Uma solução possível é então:

u^x = i^x

u^y = i^y (4.2.5)

u^z = i^z

Infelizmente $\hat{{v}}_{2}^{}$ não é conhecido à partida. Porém, se se admitir que se conhece o ambiente submerso e que se tem o problema do emparelhamento resolvido, conhecem-se p₁ (centro de projecção da câmara no ambiente 1), p₂ (dado pela reconstrução do ambiente 2) e $\hat{{v}}_{1}^{}$ (direcção tomada por um raio de luz para ir de p₁ a p₂ sofrendo a acção da interface), pode-se tentar resolver o problema por duas abordagens distintas. A primeira é semelhante a uma transformada de Hough enquanto que a segunda consiste em fixar duas coordenadas (x e y) e variar z até se ter uma solução consistente.