Transformada de Hough

Dado que a luz se propaga em linha recta em cada meio, pode escrever-se (ver figura 4.2.1):

p₂ = p₁ + t₁$$\hat{{v}}_{1}^{}$$ + t₂$$\hat{{v}}_{2}^{}$$

ou seja

$$\hat{{v}}_{2}^{} {\frac{{\mathbf{p_2}-\mathbf{p_1}-t_1 \mathbf{\hat{v}_1}}}{{t_2}}}$$ (4.2.6)

como a norma de $\hat{{v}}_{2}^{}$ terá que ser unitária, o valor de t₂ vem necessariamente dado por

t₂ = $$\left\Vert\vphantom{ \mathbf{p_2}-\mathbf{p_1}-t_1 \mathbf{\hat{v}_1} }\right.$$p₂ - p₁ - t₁$$\hat{{v}}_{1}^{}$$$$\left.\vphantom{ \mathbf{p_2}-\mathbf{p_1}-t_1 \mathbf{\hat{v}_1} }\right\Vert$$

Obtêm-se assim valores possíveis para $\hat{{v}}_{2}^{}$ parametrizados por t₁, e portanto u fica também parametrizado por esta variável. Então, t₁ parametriza tanto a localização do ponto de intersecção do raio que parte de p₁ segundo a direcção $\hat{{v}}_{1}^{}$ com a interface^4.4, como a orientação da interface nesse mesmo ponto^4.5. Se se levar em consideração que se tem 2 imagens (cada uma com MxN diferentes $\hat{{v}}_{1}^{}$) deverá ser possível encontrar a superfície da interface usando técnicas semelhantes à transformada de Hough (infelizmente num espaço a 5 dimensões, com coordenadas (x, y, z, v^x, v^y) dado que v^z fica definido das duas últimas).

Devido às dimensões do espaço de procura, este método requer uma implementação cuidada de forma a manter uma baixa utilização de memória. Dada esta dificuldade considera-se a abordagem descrita de seguida como sendo melhor.