Rectificação da Imagem

A rectificação então consiste em projectar os pontos do plano de retina sobre o plano de interface, alterar os parâmetros da câmara e reprojectar no novo plano de retina. Suponha-se que se pretende projectar um ponto p₁ sobre um plano $\bar{{k}}$ usando como centro de projecção um ponto p₀. Como visto em [4], uma recta em $\mathbb {P}$³ pode ser descrita por

r = {$$\bar{{p}}_{0}^{}$$ + $$\lambda$$$$\bar{{p}}_{1}^{}$$,  $$\lambda$$ $$\in$$ $$\mathbb {R}$$}

e pretende-se encontrar o ponto desta recta que pertence ao plano $\bar{{k}}$. Assim pretende-se encontrar $\lambda$ tal que

$$\bar{{k}}$$ = 0

$$\Leftrightarrow \bar{{k}} \left(\vphantom{\mathbf{\bar{p}_0}+\lambda\mathbf{\bar{p}_1}}\right. \bar{{p}}_{0}^{} \lambda \bar{{p}}_{1}^{} \left.\vphantom{\mathbf{\bar{p}_0}+\lambda\mathbf{\bar{p}_1}}\right)$$ = 0

$$\Leftrightarrow \lambda {\frac{{\mathbf{\bar{k}}^T\mathbf{\bar{p}_0}}}{{\mathbf{\bar{k}}^T\mathbf{\bar{p}_1}}}}$$

O ponto projectado sobre o plano (que se designará por $\bar{{p}}_{2}^{}$) será então

$$\bar{{p}}_{2}^{}$$ $$\sim$$ $$\bar{{p}}_{0}^{}$$ - $${\frac{{\mathbf{\bar{k}}^T\mathbf{\bar{p}_0}}}{{\mathbf{\mathbf{\bar{k}}^T\bar{p}_1}}}}$$$$\bar{{p}}_{1}^{}$$

Como se trabalha no espaço projectivo e $\bar{{k}}$^T$\bar{{p}}_{1}^{}$ é escalar, usa-se a relação de equivalência para escrever o anterior como

$$\bar{{p}}_{2}^{} \sim \bar{{p}}_{0}^{} \bar{{k}} \bar{{p}}_{1}^{} \bar{{k}} \bar{{p}}_{0}^{} \bar{{p}}_{1}^{}$$

$$\bar{{p}}_{2}^{} \sim \left(\vphantom{\mathbf{\bar{p}_0}\mathbf{\bar{k}}^T-\mathbf{\bar{k}}^T\mathbf{\bar{p}_0}\mathbf{I}}\right. \bar{{p}}_{0}^{} \bar{{k}} \bar{{k}} \bar{{p}}_{0}^{} \left.\vphantom{\mathbf{\bar{p}_0}\mathbf{\bar{k}}^T-\mathbf{\bar{k}}^T\mathbf{\bar{p}_0}\mathbf{I}}\right) \bar{{p}}_{1}^{}$$

onde I designa a matriz identidade. Tem-se assim uma matriz de projeção parametrizada pelo centro de projecção e pelo plano onde se pretende projectar. Em particular, para o plano z = 0 $\left(\vphantom{\mathbf{\bar{k}}=\left [\begin{array}{ccccccc}0&0&1&0\end{array}\right ]^T}\right.$$\bar{{k}}$ = $\left[\vphantom{\begin{array}{ccccccc}0&0&1&0\end{array}}\right.$$\begin{array}{ccccccc}0&0&1&0\end{array}$$\left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc}0&0&1&0\end{array}}\right]^{T}_{}$$\left.\vphantom{\mathbf{\bar{k}}=\left [\begin{array}{ccccccc}0&0&1&0\end{array}\right ]^T}\right)$ a matriz de projecção toma a forma

$$\bar{p} \sim \underbrace{{\begin{bmatrix}-p_0^z & 0 & p_0^x & 0\\ 0 & -p_0^z ... ...0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -p_0^z\\ \end{bmatrix}}}_{{\mathbf{M(p_0)}}}^{}\, \bar{p}$$ (4.1.8)

Assim, assumindo que as imagens foram previamente corrigidas de forma a não apresentarem distorção ocular, é possível corrigir as imagens de acordo com a aproximação de snell de primeira ordem aplicando a seguinte homografia:

$$\mathcal {P} \mathcal {P}$$ (4.1.9)

Onde $\mathcal {P}$₁ é a matriz de projecção da câmara original, $\mathcal {P}$₂ é a matriz de projecção da câmara com os parâmetros intrínsecos e extrínsecos alterados (como descrito na secção 4.1.3, em particular pela equação 4.1.7), M(p₀) é a matriz descrita na equação 4.1.8, onde p₀ é o centro de projecção da câmara original.

Note-se que após esta transformação, as equações 4.1.3-4.1.5 deixam de descrever o efeito desejado, não permitindo portanto o seu uso na triangulação necessária no algortimo de reconstrução. De seguida corrigem-se estas equações, de forma a serem válidas para imagens previamente transformadas pelo processo anterior. Como se apresenta na figura 4.1.4, pretende-se para cada pixel de cada imagem calcular o par (p₃,v₃) a partir de (p₁,v₁), que define o caminho seguido pela luz debaixo de água.

Figura: Ilustração do erro de reconstrução devido à aproximação de snell. Repare-se que a trajectória exacta seguida pelo feixe de luz debaixo de água será segundo v₃ e não segundo v₁.

Assim, definindo parametricamente uma recta através de p₁ e v₁ calcula-se a intersecção desta com o plano de interface z = 0:

$$\left[\vphantom{\begin{array}{ccccccc}p_1^x-\frac{p_1^z}{v_1^z}v_1^x & p_1^y-\frac{p_1^z}{v_1^z}v_1^y & 0 \end{array}}\right. \begin{array}{ccccccc}p_1^x-\frac{p_1^z}{v_1^z}v_1^x & p_1^y-\frac{p_1^z}{v_1^z}v_1^y & 0 \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc}p_1^x-\frac{p_1^z}{v_1^z}v_1^x & p_1^y-\frac{p_1^z}{v_1^z}v_1^y & 0 \end{array}}\right]^{T}_{}$$ (4.1.10)

Como se sabe, a aproximação de snell deslocou o centro de projecção de cada câmara segundo a transformação 4.1.6, logo:

p₂ = $$\left[\vphantom{\begin{array}{ccccccc}p_1^x & p_1^y & kp_1^z\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccccccc}p_1^x & p_1^y & kp_1^z\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc}p_1^x & p_1^y & kp_1^z\end{array}}\right]^{T}_{}$$

e portanto

v₂ = p₃ - p₂ = $$\left[\vphantom{\begin{array}{ccccccc}-\frac{p_1^z}{v_1^z}v_1^x &-\frac{p_1^z}{v_1^z}v_1^y & -kp_1^z \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccccccc}-\frac{p_1^z}{v_1^z}v_1^x &-\frac{p_1^z}{v_1^z}v_1^y & -kp_1^z \end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc}-\frac{p_1^z}{v_1^z}v_1^x &-\frac{p_1^z}{v_1^z}v_1^y & -kp_1^z \end{array}}\right]^{T}_{}$$

Para o par (p₂,v₂) as equações 4.1.3-4.1.5 são novamente válidas e ao aplicá-las, levando em consideração os sinais das grandezas e que

a = sgn(a) ^. |a|= sgn(a)$$\sqrt{{a^2}}$$

obtém-se

$$\propto \left[\vphantom{\begin{array}{ccccccc}v_1^x &v_1^y & -\sqrt{\frac... ...\left(v_1^x\right)^2+\left(v_1^y\right)^2\right)+(v_1^z)^2} \end{array}}\right. \begin{array}{ccccccc}v_1^x &v_1^y & -\sqrt{\frac{1-k^2}{k^2}\left(\left(v_1^x\right)^2+\left(v_1^y\right)^2\right)+(v_1^z)^2} \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc}v_1^x &v_1^y & -\sqrt{\frac... ..._1^x\right)^2+\left(v_1^y\right)^2\right)+(v_1^z)^2} \end{array}}\right]^{T}_{}$$ (4.1.11)