Mudança de Parâmetros da Câmara

Assumindo para simplificar um ambiente 2D com p₁^x = 0 (onde p₁ será o centro de projecção da câmara) e que o interface está no plano y = 0 (ver figura 4.1.3), segue-se um raio de luz que parte de p₁, segundo uma direcção v₁. Este atingirá o interface num ponto p₂:

Figura 4.1.3: Representação do caminho percorrido pela luz quando se usa a aproximação de Snell de primeira ordem.

p₂ = p₁ - $${\frac{{p_1^y}}{{v_1^y}}}$$v₁

De acordo com a aproximação da lei de Snell de primeira ordem, aí o raio será refractado e continuará o seu percurso segundo uma direcção v₂ = Kv₁. Se se propagar este novo raio para trás, e se encontrar o ponto de intersecção com a recta x = 0, tem-se o ponto p₃:

$${\frac{{p_2^x}}{{v_2^x}}}$$ p₃

$${\frac{{p_1^y}}{{v_1^y}}} {\frac{{p_1^x-\frac{p_1^y}{v_1^y}v_1^x}}{{kv_1^x}}}$$

$$\left[\vphantom{\begin{array}{ccccccc}0\\ \frac{p_1^y}{k}\end{array}}\right. \begin{array}{ccccccc}0\\ \frac{p_1^y}{k}\end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc}0\\ \frac{p_1^y}{k}\end{array}}\right]$$

Como se observa, p₃ é independente da direcção tomada inicialmente, descrita por v₁. Generalizando para 3D, para qualquer p₁, tem-se

$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{k} \end{bmatrix}$$ (4.1.6)

Repare-se então que se se alterar o centro de projecção da câmara (originalmente em p₁) para p₃, leva-se em conta o efeito da interface (no sentido da aproximação de Taylor de primeira ordem) e pode-se aplicar directamente a reconstrução tridimensional usual (desde que se considere válida esta aproximação à lei de Snell descrita na secção 4.1.2).

Como se sabe, o centro de projecção de uma câmara está na origem do referencial local à câmara, ou seja:

^L$$\bar{p}_{1}^{}$$ = $$\left[\vphantom{\begin{array}{ccccccc}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccccccc}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}}\right]$$

Sendo $\mathcal {E}$ a transformação projectiva que leva pontos do referencial do mundo (W) para o referencial local da câmara (L), tem-se

^W$$\bar{p}_{1}^{}$$ = $$\mathcal {E}$$^{-1  L}$$\bar{p}_{1}^{}$$

Como visto na equação 4.1.6 pode-se agora aplicar a aproximação de primeira ordem da lei de snell, resultando em

$$\bar{p}_{3}^{} \mathcal {K} \mathcal {E} \bar{p}_{1}^{}$$ (4.1.7)

onde

$$\mathcal {K}$$ = $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{k} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Sendo esta a nova posição da câmara em coordenadas do mundo (parâmetros extrínsecos). A orientação da câmara não necessita de ser alterada neste passo, embora normalmente seja, de forma tornar ambos os planos de retina das câmaras co-planares.

Os parâmetros intrínsecos da câmara, embora também não tenham que ser alterados, normalmente também o são, de forma a aproveitar melhor os elementos de imagem. Caso não se fizesse, apareceria uma zona à volta da imagem sem conteúdo, resultando em percas desnecessárias de informação. A alteração destes parâmetros é porém empírica havendo várias abordagens possíveis, por exemplo manter invariante a área da projecção da imagem no plano de retina ou garantir que dois cantos opostos ao longo de uma diagonal não alterem a sua posição. Dada a sua simplicidade e bons resultados obtidos (levando em conta a natureza da transformação extrínseca que se usa), foi usada esta última.