Modelo de Câmara

As equações que levam um ponto no plano de retina (que pode ser pensado como o plano z = 1 em coordenadas locais à câmara) para coordenadas de imagem são dadas por [4]

u = f_xx + c_x

v = f_yy + c_y

onde se ignora a distorção introduzida pelo sistema de aquisição de imagem, supondo portanto que estas foram previamente corrigidas neste sentido. Caso o ponto não esteja no plano z = 1 há primeiro que o projectar sobre este plano, passando o anterior a ser escrito como

$${\frac{{x}}{{z}}}$$ u

$${\frac{{y}}{{z}}}$$ v

Este último sistema pode ser escrito como uma transformação projectiva, assumindo a forma

$$\left[\vphantom{\begin{array}{ccccccc}u\\ v\\ 1\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccccccc}u\\ v\\ 1\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc}u\\ v\\ 1\end{array}}\right]$$ $$\sim$$ $$\underbrace{{\begin{bmatrix} f_x & 0 & c_x & 0\\ 0 & f_y & c_y & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}}}_{{\mathcal{I}}}^{}\,$$$$\left[\vphantom{\begin{array}{ccccccc}x\\ y\\ z\\ w\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccccccc}x\\ y\\ z\\ w\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc}x\\ y\\ z\\ w\end{array}}\right]$$

Podemos ainda pensar na transformação ``inversa'' que converte um valor descrito em coordenadas de imagem, no seu correspondente no plano de retina em z = 1:

$${\frac{{u-c_x}}{{f_x}}}$$ x

$${\frac{{v-c_y}}{{f_y}}}$$ y

z = 1

ou seja,

$$\left[\vphantom{\begin{array}{ccccccc}x\\ y\\ 1\\ 1\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccccccc}x\\ y\\ 1\\ 1\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc}x\\ y\\ 1\\ 1\end{array}}\right]$$ $$\sim$$ $$\underbrace{{\begin{bmatrix} \frac{1}{f_x} & 0 & -\frac{c_x}{f_x... ...y}\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}}}_{{\mathcal{I}^{-1}}}^{}\,$$$$\left[\vphantom{\begin{array}{ccccccc}u\\ v\\ 1\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccccccc}u\\ v\\ 1\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{ccccccc}u\\ v\\ 1\end{array}}\right]$$

Repare-se que se abusa da notação ao escrever $\mathcal {I}$^-1 dado que $\mathcal {I}$ não é invertível. Pode-se então também pensar na transformação que leva um ponto descrito em coordenadas do mundo em coordenadas de imagem $\mathcal {P}$ = $\mathcal {I}$$\mathcal {E}$ onde $\mathcal {E}$ $\in$ SE(3)^3.1 é a transformação de coordenadas do referencial do mundo para o referencial da câmara (que designaremos por parâmetros extrínsecos da câmara). À matriz $\mathcal {P}$ designaremos de matriz de projecção da câmara. Usando o conceito descrito anteriormente é também possível descrever um pixel como um ponto no plano de retina em coordenadas do mundo usando a transformação $\mathcal {P}$^-1 = $\mathcal {E}$^-1$\mathcal {I}$^-1. Tal como na escrita de $\mathcal {I}$^-1, abusa-se uma vez mais da notação dado que $\mathcal {P}$^-1$\mathcal {P}$ $\neq$ I embora $\mathcal {P}$$\mathcal {P}$^-1 = I (onde I é a identidade).

Os parâmetros extrínsecos das câmaras são representados (por uma questão de escrita compacta) através de dois triplos em $\mathbb {R}$³, um dos quais representa um eixo de rotação passando pela origem do referencial e cuja amplitude descreve o ângulo de rotação, e um segundo triplo em $\mathbb {R}$³ descrevendo uma translação a ser aplicada após a rotação. Estes 6 parâmetros são facilmente convertidos em matrizes de transformação de referenciais (e vice-versa) usando a fórmula de Rodrigues [5]. Observe-se a figura 3.3.1 para uma representação dos sistemas de coordenadas usados.

Figura 3.3.1: Representação dos sistemas de coordenadas usados. A azul representa-se a posição usual do plano de água em z = 0.