Intersecção de Duas Rectas Descritas Parametricamente

Considere-se agora o problema de encontrar a intersecção de duas rectas num espaço N dimensional com a possibilidade de existência de erros nos parâmetros. Pretende-se portanto encontrar o ponto médio do segmento de recta mais curto que una um ponto em cada recta. Se supormos que cada recta é parametrizada por

r(t) = p + tv

onde p é um ponto N dimensional e v é um vector também N dimensional. O funcional de custo a minimizar de forma a achar t₁ e t₂ é portanto

E = $$\Vert$$r₁(t₁) - r₂(t₂)$$\Vert$$ = $$\sum_{{l=1}}^{N}$$$$\left(\vphantom{ p_1^l+t_1v_1^l-p_2^l-t_2v_2^l }\right.$$p₁^l + t₁v₁^l - p₂^l - t₂v₂^l$$\left.\vphantom{ p_1^l+t_1v_1^l-p_2^l-t_2v_2^l }\right)^{2}_{}$$

Uma vez mais é condição necessária e, para este funcional de custo, suficiente de optimalidade

$${\frac{{\partial E}}{{\partial t_i}}}$$ = 2$$\sum_{{l=1}}^{N}$$v_i^l$$\left(\vphantom{ p_1^l+t_1v_1^l-p_2^l-t_2v_2^l }\right.$$p₁^l + t₁v₁^l - p₂^l - t₂v₂^l$$\left.\vphantom{p_1^l+t_1v_1^l-p_2^l-t_2v_2^l }\right)$$ = 0    i = 1,  2

Esta equação têm a interpretação geométrica de o segmento de recta que une as duas rectas ter que ser perpendicular a cada uma delas. A equação pode ser escrita em forma matricial usando o produto interno usual $\langle$ ^. , ^. $\rangle$:

$$\begin{bmatrix} \langle \mathbf{v_1},\mathbf{v_1}\rangle & -\lang... ..._1},\mathbf{v_2}\rangle &\langle \mathbf{v_2},\mathbf{v_2}\rangle \end{bmatrix}$$$$\begin{bmatrix} t_1\\ t_2 \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} \langle \mathbf{v_1},\mathbf{p_1}-\mathbf{p_2}\ra... ... \\ -\langle \mathbf{v_2},\mathbf{p_1}-\mathbf{p_2}\rangle \\ \end{bmatrix}$$

Após resolvido o sistema (que apenas não terá solução caso os vectores sejam paralelos), a solução pretendida vem dada pelo ponto médio do segmento de recta

q = $${\frac{{1}}{{2}}}$$$$\left(\vphantom{ \mathbf{p}_1 +t_1 \mathbf{v_1} + \mathbf{p}_2 +t_2 \mathbf{v_2} }\right.$$p₁ + t₁v₁ + p₂ + t₂v₂$$\left.\vphantom{ \mathbf{p}_1 +t_1 \mathbf{v_1} + \mathbf{p}_2 +t_2 \mathbf{v_2} }\right)$$

Este q será o nosso ponto tridimensional reconstruído.